Matemática enactiva. Aportes para la articulación entre teoría y práctica en la educación matemática

El concepto de nociones básicas trata la cuestión de cómo imágenes y conceptos mentales influyen en acciones matemáticas y cómo la formación de los conceptos mentales puede apoyar el desarrollo de las habilidades matemáticas. En este estudio se presenta la evolución de este enfoque didáctico, introduciendo el concepto general de nociones básicas, en particular, la conexión con el proceso de la modelación y la distinción entre uso normativo y descriptivo, así como la distinción entre nociones básicas primarias y secundarias. Además, se muestra cómo las nociones básicas evolucionan desde el inicio de la escuela primaria hacia la escuela secundaria, para seguir con los resultados de un estudio longitudinal, donde se muestran los problemas que se forman en caso de una insuficiencia de nociones básicas. Finalmente, se muestra que las nociones básicas no son elementos estéticos, sino que más bien –en el caso ideal– forman un sistema viviente con interconexiones y ampliaciones dentro del desarrollo de las competencias matemáticas.

En este capítulo introductorio apuntamos a hacer una revisión panorámica de los aspectos fundamentales de la metaforización y la enacción, especialmente relevantes para la didáctica de la matemática. Comenzamos bosquejando el desarrollo histórico de la metaforización y la enacción en la cultura humana, en especial, en ciencias cognitivas. Comentamos enseguida algunos ejemplos paradigmáticos de abordajes didácticos a nociones matemáticas clásicas, sugeridos por nuestra perspectiva te rica, donde se entrelazan metaforización y enacción.

Este trabajo tiene por objetivo entregar una mirada de cómo introducir la enseñanza de algunos tipos de funciones (exponencial y seno) mediante el desarrollo de nociones básicas secundarias. Es por esto que en una primera instancia narramos desde la teoría y a qué nos referimos cuando hablamos de nociones básicas secundarias, permitiendo, a la vez, distinguir las semejanzas o diferencias que existen con las nociones básicas primarias. En una segunda instancia, queremos mostrar las nociones básicas del concepto función y cómo estas son transversales a distintos tipos de funciones. Si bien hay aspectos que son centrales, hay otros que son propios de cada función, por lo que se hace necesario distinguir qué nociones son propias de la función exponencial y seno. Finalmente, luego de describir de manera normativa las distintas nociones básicas secundarias declaradas, queremos presentar algunas actividades o algunos problemas con los que se pueden trabajar los distintos tipos de funciones, para permitir que los estudiantes (desde nuestra mirada) tengan una mejor comprensión de estas.

En este trabajo nos proponemos poner en evidencia distintas metáforas, principalmente enactivas, involucradas en la enseñanza y el aprendizaje de las congruencias aritméticas módulo m, un típico ineludible en la formación matemática de futuro profesorado de matemáticas para la escuela secundaria. Nos interesa especialmente comparar la incidencia de distintas metaforizaciones en los procesos cognitivos de aprendizaje del alumnado, vía un abordaje tanto te rico como experimental. Nuestra metodología cualitativa de investigación conlleva observación etnográfica y participativa. El alumnado involucrado en las experiencias didácticas aquí descritas e interpretadas desde nuestra perspectiva teórica son docentes de matemática y física en formación, de primer y sexto semestre, de la Universidad de Chile, así como profesorado de primaria en ejercicio y participantes de un postítulo de desarrollo profesional en educación general básica con mención en matemáticas, en la misma universidad. Concluimos que las distintas metaforizaciones puestas en obra en nuestras experiencias didácticas, con un apreciable componente enactivo, además de icónica y simbólica, inciden marcada y positivamente en el desarrollo del aprendizaje y en la resignificación de las congruencias aritméticas por parte del alumnado, así como en sus actitudes afectivas hacia la matemática.

Nuestro objetivo es investigar cómo hacer asequible el pensamiento probabilista al alumno universitario humanista, que no tiene, en general, especial inclinación hacia la matemática. Nuestra proposición es utilizar un abordaje metafórico y enactivista a lo aleatorio para transformarlo en determinista, en un contexto de dinámicas de trabajos grupales, en un curso de matemáticas en la universidad para estudiantes humanistas de primer año. Presentamos y discutimos, desde nuestra perspectiva teórica, ejemplos ilustrativos de diversas metaforizaciones, puestas en obra en este curso, que permiten abordar eficaz y amigablemente situaciones a-didácticas que involucran lo aleatorio, construyendo de paso la noción de probabilidad.

El presente trabajo explica el Museo Laboratorio de Didáctica de la Matemática (MLDM), desde su origen, su colección y características museales, para, luego, adentrarse en los aspectos educativos del proyecto. Aquí es donde se conecta el aprendizaje con la necesidad de llegar a la emoción de la persona que es interpelada por un objeto matemático. Posteriormente, se explica la colección, que se encuentra configurada por materiales comprados y artesanales, organizada en subcategorías conforme a ideas matemáticas conductoras. El trabajo se cierra con ejemplos de las exposiciones que se desarrollan y se finaliza entregando conclusiones y algunas proyecciones para el futuro del MLDM.

En el presente trabajo se presenta un conjunto de tareas con el fin de ayudar a mejorar la transición secundaria-universidad. Se piensa esta mejora desde la promoción, actualmente escasa, de procesos de razonamiento inductivo y procesos de visualización, motivando, con esto, un tránsito en los niveles de argumentación validados en el paso del colegio a la universidad. Las tareas se analizan desde el marco teórico de los espacios de trabajo matemáticos (ETM), lo cual nos permite, además, integrar las investigaciones y los estudios alrededor de ambos procesos con los avances y las metodologías en torno al ETM. Estas tareas se proponen en el contexto de los talleres de matemática de primer año de la carrera de Pedagogía en Enseñanza Media en Matemática y Física de la Universidad de Chile.

En las universidades alemanas, el profesorado en formación y los estudiantes de matemáticas puras asisten a las mismas clases de matemáticas. Para el futuro profesorado de matemáticas (y, en parte, también para quienes se dediquen a las matemáticas en el futuro) estas clases (Análisis I/II y Álgebra Lineal I/II) son muy difíciles de entender, porque son axiomáticas y muy abstractas en su totalidad. En las escuelas secundarias alemanas se enseña una introducción al cálculo en los últimos dos a os, iniciando siempre con ejemplos concretos (método inductivo). Así, para los estudiantes universitarios alemanes de primer año, la introducción a las matemáticas científicas se asocia con una ruptura brusca del razonamiento inductivo al deductivo. El proyecto Tareas de transición intenta suavizar esta difícil transición.
A continuación, se describe este proyecto, el cual se llevó a cabo en la Universidad de Bielefeld en el semestre de verano de 2019. El trabajo se centró en el desarrollo de tareas que deberían vincular el razonamiento inductivo de las matemáticas escolares y el razonamiento deductivo de las matemáticas universitarias. Estas tareas de transición se insertaron en las hojas de ejercicios habituales (una para cada tema semanal) de una clase regular de Cálculo Diferencial I, con el fin de hacer consciente y explicitar las relaciones entre las matemáticas de los últimos tres a os de la escuela secundaria y el primer semestre de la universidad. La ruptura arriba mencionada entre el trabajo matemático inductivo y deductivo es particularmente problemática para el futuro profesorado de bachillerato. Si no se puede despertar en este alumnado un interés genuino por la matemática científica (es decir, deductiva, axiomática), difícilmente estarán dispuestos o serán capaces de incorporar (en el futuro) elementos científicos en el diseño de sus propias lecciones de matemáticas.
Teniendo en cuenta la teoría del aprendizaje, para que nuevos conocimientos sean comprensibles y están dotados de significado, deben ser construidos a partir de los conocimientos, las ideas y las experiencias previas de quienes aprenden. Estas tareas de transición usan explícitamente los conocimientos previos y las nociones básicas de la escuela, con el objetivo de que los estudiantes entiendan de mejor manera los contenidos matemáticos de la universidad. En este artículo se explican los principios de construcción de las tareas mediante cuatro ejemplos y, además, se comenta su valor didáctico adicional. Sobre la base de la evaluación realizada, se describe una breve reseña de las ventajas de estas tareas adicionales desde el punto de vista de los estudiantes.

En este capítulo se presenta la construcción y el análisis psicométrico del test de conceptos fundamentales en matemática. El test está orientado a detectar la comprensión de nociones básicas matemáticas en jóvenes que inician sus estudios universitarios y se encuentra sustentando desde la didáctica de las matemáticas por la teoría de nociones básicas y desde la psicometría por la teoría de respuesta al ítem (TRI). Respecto al comportamiento de los dieciséis ítems del test, que abordan contenidos matemáticos agrupados en los ejes: fracciones, típicos básicos del álgebra, ecuaciones y análisis de datos, se obtiene un índice de dificultad promedio de los ítems de 0,46 en escala 0-1, y se reporta la curva de característica para un modelo que considera la dificultad, la discriminación y el azar.

Esta investigación cuasiexperimental plantea una propuesta de enseñanza para la adqui-sición de nociones básicas sobre los números enteros, la cual es implementada con estu-diantes de Chile de educación superior (17 a 26 años) con un diseño de pretest y postest. El test inicial permite identificar las nociones básicas iniciales que se utilizan en problemas conceptuales, de cálculo y de aplicación. Los resultados evidencian que los estudiantes de primer año de universidad carecen de nociones básicas de los números enteros y que, luego de la implementación de la propuesta de enseñanza, activan nuevas nociones básicas que les permiten resolver problemas.

En este trabajo se presenta el análisis factorial exploratorio del test de conceptos fundamentales en matemática, el cual está orientado a detectar la comprensión de nociones básicas matemáticas en jóvenes que inician estudios universitarios. Se aplicó el instrumento a 1255 estudiantes que iniciaban sus estudios en una universidad no selectiva en Chile. El análisis muestra que el test tiene un coeficiente de confiabilidad kr-20 de 0,81 y el análisis de factorial exploratorio indica que la estructura te rica original que considera evaluar fracciones, típicos básicos del álgebra, ecuaciones y análisis de datos, se puede agrupar en dos factores; el primero que agrupa en su totalidad los ítems de la dimensión típicos básicos del álgebra e incorpora dos ítems de las dimensiones ecuaciones y fracciones respectivamente. El segundo que recoge en su totalidad los ítems de la dimensión análisis de datos e incorpora dos ítems de las dimensiones ecuaciones y fracciones respectivamente.

El instrumento puede utilizarse para investigar sobre las nociones básicas, y los conocimientos adquiridos sobre fracciones, típicos básicos de álgebra, ecuaciones y estadística básica en la transición de educación secundaria a educación superior. Además, los resultados del instrumento pueden orientar los cursos de nivelación matemática y programas de apoyo académico como tutorías o ayudantías.

En un ambiente de una clase pública, se plantea al alumnado de 7 u 8 a os, quienes se organizan en grupos, una tarea enactivista de representar figuras geométricas 2D y 3D en forma silenciosa, de tal modo que las personas de uno de los grupos solo pueden usar sus cuerpos para que las del otro grupo las identifiquen. El objetivo es ver el despliegue de los conocimientos del alumnado en la relación 2D-3D presentada. Para esto, se analizan los conocimientos previos del alumnado vía los textos escolares que estas personas manipularon en la visualización de las figuras 2D y 3D. En el análisis de los textos escolares, así como en el desarrollo de la tarea enactivista, usamos la teoría del espacio de trabajo matemático.

En el siguiente escrito se presenta un análisis de caso de la percepción del proceso de remoción de estructuras estereotipadas que dificultan el aprendizaje y la comunicación en un curso de matemática enactiva acompañado con la herramienta de grupo operativo. El grupo está conformado por 23 estudiantes entre 18 y 25 a os, 15 estudiantes de género femenino y 8 de género masculino correspondiente al primer año del programa académico de bachillerato con mención humanista de la Universidad de Chile. Como metodología para la recogida de datos se utiliza la herramienta de grupo focal que permite analizar los discursos del grupo frente a la experiencia. Para abordar esta investigación, en una primera instancia, presentar el contexto donde nace la idea de la instalación de grupo operativo en una clase de matemáticas y, luego, abordar conceptos te ricos de la herramienta de grupo operativo que ayudar n a comprender el análisis de las categorías emergentes. Estas categorías son divididas en tres momentos: antes de llegar al curso, durante el proceso del grupo y al finalizar la intervención; para, finalmente, reflexionar en torno a las preguntas que aparecen sobre la experiencia de aprendizaje en la metaforización enactiva, desde un grupo que viene de una historia de educación tradicional.

En el artículo se presentan el análisis y las conclusiones de un test compuesto por dos partes: la primera es una prueba de conocimientos de matemática con base en las nociones básicas y, la segunda, corresponde a un cuestionario sobre dimensión afectiva que mide la actitud y la ansiedad hacia la matemática. Quien ha participado en el estudio son 37 estudiantes de primer año de la Universidad de Santiago de Chile, de un programa cuyo ingreso exige conocer elementos de matemática de nivel básico. Para el análisis se revisó la consistencia y la confiablidad de la prueba y del cuestionario, como también se exploró la asociación entre los resultados del test e índices derivados del cuestionario. Entre las conclusiones se destaca que existe una asociación inversa entre resultado en la prueba de matemáticas y el nivel de ansiedad, lo que no se puede afirmar de las estudiantes mujeres. Sin embargo, se puede afirmar que la ansiedad estar a actuando de manera diferente según el género.